Wie Computer rechnen: Logische Schaltungen und der Halbaddierer

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Bevorstehend

Verstehe, wie Computer auf unterster Ebene arbeiten: Mit logischen Gattern und dem Halbaddierer als Beispiel für eine einfache Rechenschaltung.

Ziele dieses Moduls

Sie können die grundlegenden logischen Gatter (AND, OR, NOT, XOR) erklären und deren Wahrheitstabellen aufstellen
Verstehen
Sie können den Aufbau und die Funktionsweise eines Halbaddierers erklären und nachvollziehen
Verstehen
Sie können am Beispiel des Halbaddierers erklären, wie Computer grundlegende Rechenoperationen durchführen
Analysieren

Einführung

Computer können nur zwei Zustände verstehen: 0 (aus / kein Strom) und 1 (an / Strom). Aber wie rechnet ein Computer damit?

In diesem Modul lernen Sie, wie Computer mit logischen Schaltungen arbeiten und wie ein Halbaddierer zwei Binärzahlen addiert.

Wichtig: Dies ist ein praktisches Modul mit Simulationen und Aufgaben zum Selbstbauen!

Binärsystem – Die Sprache der Computer

Computer arbeiten mit dem Binärsystem (Zahlensystem mit nur 0 und 1).

Warum? Weil elektronische Schaltungen nur zwei Zustände haben:

0 = kein Strom / Spannung niedrig (0 Volt)
1 = Strom fliesst / Spannung hoch (5 Volt)

Beispiel: Die Dezimalzahl 5 ist im Binärsystem: 101

Dezimal	Binär
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101

Achtung: In diesem Modul konzentrieren wir uns auf 1-Bit-Rechnungen (nur 0 oder 1).

Logische Gatter – Die Bausteine

Logische Gatter sind elektronische Schaltungen, die einfache logische Operationen durchführen.

Die wichtigsten Gatter:

AND-Gatter (UND): Ausgang ist nur 1, wenn beide Eingänge 1 sind
OR-Gatter (ODER): Ausgang ist 1, wenn mindestens ein Eingang 1 ist
NOT-Gatter (NICHT): Kehrt den Eingang um (0 → 1, 1 → 0)
XOR-Gatter (Exklusiv-ODER): Ausgang ist 1, wenn genau ein Eingang 1 ist

Diese Gatter sind die Grundbausteine aller digitalen Schaltungen!

AND-Gatter (UND)

Das AND-Gatter hat zwei Eingänge (A und B) und einen Ausgang (Q).

Regel: Ausgang ist nur 1, wenn beide Eingänge 1 sind.

Wahrheitstabelle:

A	B	Q (A AND B)
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Symbol:

A ──┐
      |── Q
B ──┘

Alltagsbeispiel: Eine Lampe leuchtet nur, wenn beide Schalter eingeschaltet sind.

OR-Gatter (ODER)

Das OR-Gatter hat zwei Eingänge (A und B) und einen Ausgang (Q).

Regel: Ausgang ist 1, wenn mindestens einer der Eingänge 1 ist.

Wahrheitstabelle:

A	B	Q (A OR B)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Alltagsbeispiel: Eine Tür öffnet sich, wenn entweder der Schlüssel oder der Code eingegeben wird.

XOR-Gatter (Exklusiv-ODER)

Das XOR-Gatter hat zwei Eingänge (A und B) und einen Ausgang (Q).

Regel: Ausgang ist 1, wenn genau einer der Eingänge 1 ist (nicht beide!).

Wahrheitstabelle:

A	B	Q (A XOR B)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Wichtig: XOR ist der Schlüssel zum Addieren im Binärsystem!

Alltagsbeispiel: Ein Lichtschalter mit zwei Schaltern an verschiedenen Enden eines Raums – jeder Schalter kann das Licht umschalten.

Challenge

Aufgabe 1: Gatter verstehen

Füllen Sie die Wahrheitstabellen aus:

a) AND-Gatter

A	B	Q
1	0	?
1	1	?

b) OR-Gatter

A	B	Q
0	1	?
0	0	?

c) XOR-Gatter

A	B	Q
1	1	?
0	1	?

Lösungen: a) 0, 1 | b) 1, 0 | c) 0, 1

Checklist

0/3

Ich habe alle Wahrheitstabellen korrekt ausgefüllt
Ich kann AND, OR und XOR in eigenen Worten erklären
Ich verstehe, warum Computer mit 0 und 1 arbeiten

Note

Der Halbaddierer – Rechnen mit Gattern

Ein Halbaddierer (Half Adder) ist eine Schaltung, die zwei Binärziffern (Bits) addiert.

Eingänge:

A: Erste Zahl (0 oder 1)
B: Zweite Zahl (0 oder 1)

Ausgänge:

S (Sum): Die Summe (0 oder 1)
C (Carry): Der Übertrag (0 oder 1) – wie beim schriftlichen Rechnen!

Beispiel: 1 + 1 = 10 (binär) → S = 0, C = 1

Wahrheitstabelle:

A	B	S (Summe)	C (Übertrag)
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

Beobachtung:

S entspricht einem XOR-Gatter (A XOR B)
C entspricht einem AND-Gatter (A AND B)

Halbaddierer: Schaltplan

Der Halbaddierer besteht aus nur zwei Gattern:

     A ──┐
           XOR ── S (Summe)
     B ──┘

     A ──┐
           AND ── C (Übertrag)
     B ──┘

Erklärung:

XOR-Gatter: Berechnet die Summe (ohne Übertrag)
AND-Gatter: Erkennt, ob ein Übertrag entsteht (nur bei 1+1)

So einfach ist das! Mit nur zwei Gattern kann ein Computer addieren.

Challenge

Aufgabe 2: Halbaddierer simulieren

Öffnen Sie einen Logik-Simulator online:

CircuitVerse: https://circuitverse.org/simulator
Logicly: https://logic.ly/demo

Aufgabe:

Bauen Sie einen Halbaddierer mit einem XOR- und einem AND-Gatter
Verbinden Sie zwei Schalter (Input A und B) mit den Gattern
Verbinden Sie die Ausgänge mit LEDs (S und C)
Testen Sie alle 4 Kombinationen:
- A=0, B=0 → S=?, C=?
- A=0, B=1 → S=?, C=?
- A=1, B=0 → S=?, C=?
- A=1, B=1 → S=?, C=?

Erwartete Ergebnisse: 0+0=0 (S=0, C=0), 0+1=1 (S=1, C=0), 1+0=1 (S=1, C=0), 1+1=10 (S=0, C=1)

Checklist

0/3

Ich habe einen Halbaddierer im Simulator gebaut
Ich habe alle 4 Kombinationen getestet
Ich verstehe, warum XOR für die Summe und AND für den Übertrag zuständig sind

Note

Vom Halbaddierer zur CPU

Ein Halbaddierer kann nur zwei 1-Bit-Zahlen addieren. Aber wie rechnet eine CPU mit grossen Zahlen?

Erweiterungen:

Volladdierer (Full Adder): Kann drei Bits addieren (zwei Zahlen + Übertrag vom vorherigen Bit)
4-Bit-Addierer: Vier Volladdierer hintereinander → kann Zahlen bis 15 addieren
64-Bit-Addierer: Moderne CPUs nutzen 64-Bit-Addierer → können riesige Zahlen addieren

Das Prinzip bleibt gleich: Viele einfache Gatter, die zusammenarbeiten!

CPU = Milliarden von Gattern

Moderne CPUs haben über 10 Milliarden Transistoren (Bausteine für Gatter)
Alle basieren auf den gleichen logischen Gattern (AND, OR, NOT, XOR)
Daraus entstehen: Addierer, Multiplizierer, Speicher, Steuerwerk, ...

Challenge

Aufgabe 3: Transfer-Aufgabe (Optional)

Herausforderung: Bauen Sie einen Volladdierer!

Ein Volladdierer hat drei Eingänge:

A (erste Zahl)
B (zweite Zahl)
Cin (Übertrag vom vorherigen Bit)

Und zwei Ausgänge:

S (Summe)
Cout (Übertrag zum nächsten Bit)

Tipp: Ein Volladdierer besteht aus zwei Halbaddierern + einem OR-Gatter!

Wahrheitstabelle:

A	B	Cin	S	Cout
0	0	0	0	0
0	1	0	1	0
1	0	0	1	0
1	1	0	0	1
0	0	1	1	0
0	1	1	0	1
1	0	1	0	1
1	1	1	1	1

Bauen Sie den Volladdierer im Simulator und testen Sie ihn!

Reflection

Reflexion

Denken Sie über folgende Fragen nach:

Wie kann ein Computer aus so einfachen Bausteinen (AND, OR, XOR) so komplexe Dinge tun (Videos abspielen, KI, Spiele)?
Warum arbeiten Computer mit Binärzahlen statt mit Dezimalzahlen?
Was ist der Unterschied zwischen einem Halbaddierer und einem Volladdierer?
Könnten Sie mit vielen Halbaddierern auch subtrahieren, multiplizieren oder dividieren?

Note

Zusammenfassung

Wichtigste Erkenntnisse:

Computer arbeiten mit Binärzahlen (0 und 1)
Logische Gatter (AND, OR, NOT, XOR) sind die Grundbausteine
Ein Halbaddierer kann zwei Bits addieren (XOR + AND)
Moderne CPUs bestehen aus Milliarden solcher Gatter
Alle Rechenoperationen basieren auf diesen einfachen Bausteinen

Von 0 und 1 zur KI:

0, 1 (Binär)
 ↓
Gatter (AND, OR, XOR)
 ↓
Halbaddierer / Volladdierer
 ↓
ALU (Arithmetic Logic Unit)
 ↓
CPU (Milliarden Transistoren)
 ↓
Computer (kann alles berechnen!)