Algebra – Einstieg am Gymnasium

Dieses Modul führt in die grundlegenden Konzepte der Algebra ein. Sie lernen Bruchrechnung mit und ohne Variablen, das Vereinfachen und Umformen von Termen sowie die binomischen Formeln – alles mit klarer Theorie, konkreten Beispielen und Übungsaufgaben.

1. Bruchrechnen – Grundlagen

Ein Bruch besteht aus einem Zähler (oben) und einem Nenner (unten). Der Nenner gibt an, in wie viele gleiche Teile das Ganze aufgeteilt wird; der Zähler sagt, wie viele dieser Teile gemeint sind.

Kürzen und Erweitern

Ein Bruch ändert seinen Wert nicht, wenn man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert (Erweitern) oder durch dieselbe Zahl dividiert (Kürzen).

Kürzen: Man teilt Zähler und Nenner durch den grössten gemeinsamen Teiler (ggT).

Beispiele:

• 12/18 = 2/3  (geteilt durch 6)
• 24/36 = 2/3  (geteilt durch 12)

Erweitern: Man multipliziert Zähler und Nenner mit derselben Zahl, z. B. um einen gemeinsamen Nenner zu erhalten.

• 1/4 = 3/12  (mal 3)
• 2/5 = 6/15  (mal 3)

Addition und Subtraktion von Brüchen

Vor dem Addieren oder Subtrahieren müssen alle Brüche auf den gleichen Nenner (Hauptnenner = kgV der Nenner) gebracht werden.

Regel:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$$

Beispiele:

• $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}$
• $\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{12}{20} - \dfrac{5}{20} = \dfrac{7}{20}$
• $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{3} = 1$

Multiplikation und Division von Brüchen

Multiplikation: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner – danach kürzen.

• $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$
• $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{18}{12} = \dfrac{3}{2}$

Division: Man multipliziert mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs.

• $\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{8}$
• $\dfrac{2}{3} \div \dfrac{4}{9} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{2}$

2. Terme und Variablen

Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck, der Zahlen, Variablen und Rechenzeichen enthält. Variablen (meistens $x, y, a, b, \ldots$) stehen für unbekannte oder veränderliche Zahlen.

Gleichartige Terme (Zusammenfassen)

Terme mit denselben Variablen und denselben Exponenten heissen gleichartig und dürfen addiert/subtrahiert werden. Nur die Koeffizienten werden verändert, die Variable bleibt gleich.

Beispiele:

• $3x + 5x = 8x$
• $7a - 2a = 5a$
• $4x^2 + 3x - x^2 + 2x = 3x^2 + 5x$
• $2ab + 3a - ab = ab + 3a$

Nicht gleichartig (dürfen nicht zusammengefasst werden):

• $3x$ und $5x^2$ (verschiedene Exponenten)
• $2a$ und $4b$ (verschiedene Variablen)

Ausmultiplizieren und Ausklammern

Ausmultiplizieren (Distributivgesetz):

$$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$$

Beispiele:

• $3 \cdot (x + 4) = 3x + 12$
• $-2 \cdot (a - 5) = -2a + 10$
• $x \cdot (x + 3) = x^2 + 3x$
• $2a \cdot (3a - b) = 6a^2 - 2ab$

Ausklammern: Umkehrung des Distributivgesetzes – man sucht den grössten gemeinsamen Faktor aller Summanden.

Beispiele:

• $6x + 9 = 3 \cdot (2x + 3)$
• $4a^2 - 8a = 4a \cdot (a - 2)$
• $x^2 + x = x \cdot (x + 1)$
• $15ab - 10b^2 = 5b \cdot (3a - 2b)$

3. Bruchterme mit Variablen

Ein Bruchterm ist ein Bruch, bei dem Zähler und/oder Nenner Variablen enthalten. Dieselben Rechenregeln wie bei gewöhnlichen Brüchen gelten auch hier.

Kürzen von Bruchtermen

Man sucht gemeinsame Faktoren in Zähler und Nenner und kürzt diese heraus.

Wichtig: Man darf nur gemeinsame Faktoren kürzen, nicht gemeinsame Summanden!

Beispiele:

• $\dfrac{6x}{9x^2} = \dfrac{2}{3x}$
• $\dfrac{4a^2 b}{2ab} = 2a$
• $\dfrac{x^2 + 2x}{x} = \dfrac{x(x+2)}{x} = x + 2$

Häufiger Fehler:

$$\frac{a + 3}{3} \neq a$$

Die 3 im Zähler ist ein Summand, kein Faktor – kürzen ist hier verboten!

Addition und Subtraktion von Bruchtermen

Auch bei Bruchtermen braucht man einen gemeinsamen Nenner.

Beispiele:

• $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{y}{xy} + \dfrac{x}{xy} = \dfrac{x+y}{xy}$
• $\dfrac{3}{a} - \dfrac{1}{2a} = \dfrac{6}{2a} - \dfrac{1}{2a} = \dfrac{5}{2a}$
• $\dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{x} = \dfrac{x^2}{3x} + \dfrac{6}{3x} = \dfrac{x^2+6}{3x}$

Multiplikation und Division von Bruchtermen

Multiplikation: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner, dann kürzen.

• $\dfrac{3}{x} \cdot \dfrac{x^2}{6} = \dfrac{3x^2}{6x} = \dfrac{x}{2}$
• $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{a^2}{b} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{a^2} = \dfrac{1}{a}$

4. Binomische Formeln

Die drei binomischen Formeln sind spezielle Produkte zweier Klammern, die man auswendig kennen sollte.

Die drei Formeln

$$\boxed{(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$$

$$\boxed{(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}$$

$$\boxed{(a + b)(a - b) = a^2 - b^2}$$

Herleitung

$(a + b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$

Merkhilfe: «Erstes quadriert $\pm$ doppeltes Produkt $+$ letztes quadriert»

5. Gemischte Termumformungen

In der Praxis treten oft mehrere Techniken gleichzeitig auf: zuerst gemeinsamen Faktor ausklammern, dann eine binomische Formel erkennen.

Beispiele:

• $2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x+2)(x-2)$
• $3a^2 + 6a + 3 = 3(a^2 + 2a + 1) = 3(a+1)^2$
• $5x^2 - 20 = 5(x^2 - 4) = 5(x+2)(x-2)$
• $4y^2 - 16y + 16 = 4(y^2 - 4y + 4) = 4(y-2)^2$